Consigne: On considère la suité récurrente définie par $$\begin{align} u_0&\in[0,1]\\ u_{n+1}&=\sin u_n\end{align}$$
Montrer que \(u_n\) est décroissante et converge vers \(0\)

Récurrence
On montre par récurrence que $$0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$$

La suite est donc décroissante et minorée par \(0\), donc elle converge vers \(\ell\in[0,1]\) d'après le théorème de convergence monotone. De plus, \(\ell\) est tel que : $$\begin{cases}\ell\in[0,1]\\ \sin\ell=\ell\end{cases}\implies\ell=0$$

(Sinus, Théorème de convergence monotone)

Consigne: On considère la suité récurrente décroissante et convergeant vers \(0\) définie par $$\begin{align} u_0&\in[0,1]\\ u_{n+1}&=\sin u_n\end{align}$$
Trouver \(k\gt 0\) et \(\alpha\) tels que $$\frac1{u_{n+1}^\alpha}-\frac1{u_n^\alpha}\sim k$$

Simplification des deux fractions
On a : $$\frac1{(\sin u_n)^\alpha}-\frac1{u_n^\alpha}=\frac{u_n^\alpha-(\sin u_n)^\alpha}{u_n^\alpha(\sin u_n)^\alpha}$$

Simplifier avec les équivalents
De plus, on a :$$u_n^\alpha(\sin u_n)^\alpha\underset{+\infty}\sim u_n^{2\alpha}\quad\text{ car }\sin x\underset0\sim x$$

Simplification du numérateur
De plus, on a : $$u_n^\alpha-(\sin u_n)^\alpha=u_n^\alpha\left[1-\left(\frac{\sin u_n}{u_n}\right)^\alpha\right]$$

DL
Développement limités : $$\begin{align}\sin x&=x-\frac{x^3}6+o(x^3)\\ (1+u)^\alpha&=1+\alpha u+o(u)\\ \left(\frac{\sin x}{x}\right)^\alpha&=\left(1-\frac{x^2}6+o(x^2)\right)^\alpha=1-\frac{\alpha x^2}{6}+o(x^2)\end{align}$$

Donc $$1-\left(\frac{\sin x}x\right)^\alpha=\frac{\alpha x^2}{6}+o(x^2)$$
On a donc : $$u_n^\alpha-(\sin u_n)^\alpha=u_n^\alpha\left[\frac{\alpha u_n^2}{6}+o(u_n^2)\right]$$

Grâce à toutes les étapes précédentes, on a enfin : $$\frac13\sim\frac1{u_{+1}^2}-\frac1{u_n^2}$$

(Fonctions équivalentes, Puissance (Développement limité en 0), Sinus (Développement limité en 0))

Consigne: On considère la suité récurrente décroissante et convergeant vers \(0\) définie par $$\begin{align} u_0&\in[0,1]\\ u_{n+1}&=\sin u_n\end{align}$$
Sachant que l'on a $$\frac1{u_{n+1}^2}-\frac1{u_n^2}\sim\frac13$$ trouver une suite équivalente à \(u_n\) quand \(n\to\infty\)

Utiliser les équivalences

On a : $$\frac n3\sim\frac1{u_{n+1}^2}-\frac1{u_0^2}\sim\frac1{u_{n+1}^2}\sim\frac1{u_n^2}$$
Donc on a : $$u_n\sim\sqrt{\frac3n}$$

Consigne: Étudier la nature de la série suivante : $$\sum-\ln\left(1-\frac{1}{(n+2)^2}\right)\quad\text{ avec }\quad n\geqslant1$$

\(0\leqslant1-\frac1{(n+2)^2}\leqslant1\), donc la série est à termes positifs \(\forall n\in{\Bbb N}^*\)

Utiliser l'équivalence de \(\ln\)
On a : $$\ln(1+t)\underset0\sim t\implies-\ln\left(1-\frac{1}{(n+2)^2}\right)\underset{+\infty}\sim\frac1{(n+2)^2}$$

Théorème des équivalents avec une série de Riemann

On a de plus $$\frac1{(n+2)^2}\underset{+\infty}\sim\frac1{n^2}$$
Puisque la série \(\sum\frac1{n^2}\) est une série de Lyman convergente, \(\sum-\ln\left(1-\frac{1}{(n+2)^2}\right)\) converge d'après le théorème des équivalents

(Logarithme népérien - Logarithme naturel (Croissances comparées), Série de Riemann (Convergence))

Consigne: Préciser la nature de la série de terme général suivante : $$\sum\frac{n^2}{n^3+1}$$

On a : $$\frac{n^2}{n^3+1}\sim\frac{n^2}{n^3}=\frac1n$$
\(\sum\frac1n\) est la série harmonique. Elle diverge, donc la série diverge d'après le théorème des équivalents

(Série harmonique (Convergence))

Consigne: Préciser la nature de la série suivante : $$\sum\frac1{\sqrt{n(n^2+1)}}$$

Forcer la factorisation au dénominateur
$$\frac1{\sqrt{n(n^2+1)}}=\frac1{\sqrt{n^3(1+\frac1{n^2})}}$$

Équivalence avec une série de Riemann

$$=\frac1{n^{3/2}}\times\frac1{\sqrt{1+\frac1{n^2}}}\sim\frac1{n^{3/2}}$$
\(\sum\frac1{n^{3/2}}\) est une série de Riemann convergente, donc la série converge

(Série de Riemann (Convergence))

Consigne: Préciser la nature de la série suivante : $$\sum n^{\frac1{2-\cos(\frac1n)}}$$

\(2-\cos(\frac1n)\longrightarrow1\) donc $$n^{\frac1{2-\cos(\frac1n)}}\sim n$$
Donc la série diverge

Consigne: Préciser la nature de la série suivante : $$\sum\frac{\lvert\sin(n)\rvert}{n(n+1)}$$

Majorer le sinus
On a : $$\frac{\lvert\sin n\rvert}{n(n+1)}\leqslant\frac1{n(n+1)}$$

Et de plus : $$\frac1{n(n+1)}\sim\frac1{n^2}$$
Puisque \(\sum\frac1{n^2}\) est une série de Riemann convergente, la série converge

(Série de Riemann, Sinus)

Consigne: Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\frac{2^n+3^n}{n^2+\ln n+5^n}$$

Factorisation par le terme de plus haut degré en haut et en bas
$$\frac{2^n+3^n}{n^2+\ln n+5^n}=\frac{3^n\left((\frac23)^n+1\right)}{5^n\left((\frac{n^2}{5^n}+\frac{\ln n}{5^n}+1\right)}$$

Vérifier que chaque élément factorisé converge
Or, on a : $$\frac{n^2}{5^n}=\frac{n^2}{e^{n\ln 5}}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$$

On a donc l'équivalence : $$\frac{2^n+3^n}{n^2+\ln n+5^n}\sim\left(\frac35\right)^n$$
La série est donc équivalente à une série géométrique de terme inférieure à \(1\), elle est donc convergente

(Série géométrique)